复合梁正应力分布规律实验
一、实验目的
1. 用电测法测定叠梁，复合梁在弯曲受力状态下，沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律。
2. 推导叠梁，复合梁的正应力计算公式。
二、实验仪器和设备
1. 纯弯曲梁实验装置（纯弯曲梁复合梁）。
2. 静态数字电阻应变仪。
三、实验原理及步骤
1. 实验原理
复合梁的材料为铝梁和钢梁，上层是铝梁，其弹性模量分别为E=70GN/m2和E=210GN/m2。复合梁上总过贴上了12各应变片，每个梁各6个。
1. 几何、物理和静力学关系
以材料尺寸相同的两层矩形截面复合梁在纯弯 曲情况下为计算模型，在其纵向对称面内，承受弯矩 M的作用。上梁的弹性模量为E1，横截面面积为A1，下梁的弹性模量为E2，横截面面积为A2，且A1=A2，单梁的梁宽和梁高分别为b和h，在其纵向对称面内，承受弯矩M的作用。两种不同的材料由胶粘合制成。下面建立横截面上的弯曲正应力公式，平面假设与单向假设均成立。
设中性层的曲率半径为
，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立坐标轴y与z，中性层离交界面的距离为e。
（1）变形几何关系。根据平面假设可知，横截面上y处的纵向正应变为:
（6-1）
（2）物理关系。依胡克定律
，而
由式（1）带入，可以得出不同材料区的弯曲正应力分别为：
，
（6-2）
（3）静力学平衡关系。根据受力分析，由静力学平衡关系，考虑横截面上内力的平衡，
，可以得出：
（6-3）
由
组成的内力系，在横截面上形成一个内力偶矩M，即为横截面上的弯矩M，即：
（6-4）
2. 确定中性层位置
将式（2）代入式（3）中，得
令
则
（6-5）
则
并且，令
将
和
带入式（5）得：
（6-6）
3. 推导弯曲正应力计算公式
将式（2）代入式（4），得：
令
，
其中
、
分别为截面
、
对中性轴的惯性矩。由于各梁曲率相同，经变化得：
（6-7）
再将式（7）代入式（2），得：
，
（6-8）
式中、分别为、
对共同中性轴Z的惯性矩。
由单向应力状态的虎克定律公式
，可求出应力实验值。应力实验值与应力理论值进行比较，以验证复合梁的正应力计算公式。
2. 实验步骤
1. 首先确定单梁的物理参数，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 启动实验装置，将各应变片分别接到各个AB通道之间，同时把公共补偿片接到
上，并且把C通道与短接片短接。
3. 进行实验：
a.取初载荷0.5kN，每次逐级加1.0kN，直至4.5kN，总共分4次加载。
b.接完线路以及加初载荷之前都要重复置零。
c.每次加载完毕都要记录下数据。
四、实验数据
表6-1 Ⅰ梁应变数据表
表6-2 Ⅱ梁应变数据表
五、数据处理
1. 根据实验数据计算各点的平均应变，求出各点的实验应力值，并计算出各点的理论应力值；计算实验应力值与理论应力值的相对误差。
答：根据上面实验数据，结合材料力学相关知识计算如下：
（1）由实验数据可知，各应变片处的平均应变值为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：
Ⅱ梁上处的平均应变为：
Ⅱ梁上处的平均应变为：
Ⅱ梁上
处的平均应变为：
Ⅱ梁上处的平均应变为：
Ⅱ梁上
处的平均应变为：
Ⅱ梁上
处的平均应变为：
（2）各应变片处的实验应力值为：
Ⅰ梁上处的应力值为：
Ⅰ梁上
处的应力值为：
Ⅰ梁上处的应力值为：
Ⅰ梁上
处的应力值为：
Ⅰ梁上处的应力值为：
Ⅰ梁上
处的应力值为：
Ⅱ梁上处的应力值为：
Ⅱ梁上处的应力值为：
Ⅱ梁上
处的应力值为：
Ⅱ梁上处的应力值为：
Ⅱ梁上处的应力值为：
Ⅱ梁上处的应力值为：
（3）理论计算试件上个应变片处的理论应力值
加载的力的大小为F=1000N。复合梁的单梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用点到梁支点的距离为c=150mm。设n=E2/E1=210/70=3，中性轴位置的偏移量为：
因此，可得到复合梁Ⅰ和复合梁Ⅱ正应力计算公式分别为
其中
根据材料力学知识分析如下：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅰ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
Ⅱ梁上处计算应力值为：
（4）计算实验应力值与理论应力值的相对误差
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：
Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：
2. 上述的各点应力的实验值与应力的理论值，将两者进行比较�？梢缘贸觯菏笛橹涤肜砺壑档慕峁纸咏得鞲春狭旱恼α扑愎匠闪�。
六、实验结果
根据前面计算可以看出，实验计算的结果和理论计算的结果基本吻合。现列表如下：
表6-2 结果对比表
一、实验目的
1. 用电测法测定叠梁，复合梁在弯曲受力状态下，沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律。
2. 推导叠梁，复合梁的正应力计算公式。
二、实验仪器和设备
1. 纯弯曲梁实验装置（纯弯曲梁复合梁）。
2. 静态数字电阻应变仪。
三、实验原理及步骤
1. 实验原理
复合梁的材料为铝梁和钢梁，上层是铝梁，其弹性模量分别为E=70GN/m2和E=210GN/m2。复合梁上总过贴上了12各应变片，每个梁各6个。
1. 几何、物理和静力学关系
以材料尺寸相同的两层矩形截面复合梁在纯弯 曲情况下为计算模型，在其纵向对称面内，承受弯矩 M的作用。上梁的弹性模量为E1，横截面面积为A1，下梁的弹性模量为E2，横截面面积为A2，且A1=A2，单梁的梁宽和梁高分别为b和h，在其纵向对称面内，承受弯矩M的作用。两种不同的材料由胶粘合制成。下面建立横截面上的弯曲正应力公式，平面假设与单向假设均成立。
设中性层的曲率半径为
，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立坐标轴y与z，中性层离交界面的距离为e。（1）变形几何关系。根据平面假设可知，横截面上y处的纵向正应变为:
（6-1）（2）物理关系。依胡克定律
，而由式（1）带入，可以得出不同材料区的弯曲正应力分别为：， （6-2）（3）静力学平衡关系。根据受力分析，由静力学平衡关系，考虑横截面上内力的平衡，
，可以得出： （6-3） 由
组成的内力系，在横截面上形成一个内力偶矩M，即为横截面上的弯矩M，即： （6-4）2. 确定中性层位置
将式（2）代入式（3）中，得
令
则
（6-5）则
并且，令
将
和带入式（5）得： （6-6）3. 推导弯曲正应力计算公式
将式（2）代入式（4），得：
令
，其中
、分别为截面、对中性轴的惯性矩。由于各梁曲率相同，经变化得： （6-7）再将式（7）代入式（2），得：
， （6-8）式中
、分别为、对共同中性轴Z的惯性矩。由单向应力状态的虎克定律公式
，可求出应力实验值。应力实验值与应力理论值进行比较，以验证复合梁的正应力计算公式。2. 实验步骤
1. 首先确定单梁的物理参数，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 启动实验装置，将各应变片分别接到各个AB通道之间，同时把公共补偿片接到
上，并且把C通道与短接片短接。3. 进行实验：
a.取初载荷0.5kN，每次逐级加1.0kN，直至4.5kN，总共分4次加载。
b.接完线路以及加初载荷之前都要重复置零。
c.每次加载完毕都要记录下数据。
四、实验数据
表6-1 Ⅰ梁应变数据表
表6-2 Ⅱ梁应变数据表
五、数据处理1. 根据实验数据计算各点的平均应变，求出各点的实验应力值，并计算出各点的理论应力值；计算实验应力值与理论应力值的相对误差。
答：根据上面实验数据，结合材料力学相关知识计算如下：
（1）由实验数据可知，各应变片处的平均应变值为：
Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅰ梁上
处的平均应变为：Ⅱ梁上处的平均应变为：
Ⅱ梁上
处的平均应变为：Ⅱ梁上
处的平均应变为：Ⅱ梁上
处的平均应变为：Ⅱ梁上
处的平均应变为：Ⅱ梁上
处的平均应变为：（2）各应变片处的实验应力值为：
Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅰ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：Ⅱ梁上
处的应力值为：（3）理论计算试件上个应变片处的理论应力值
加载的力的大小为F=1000N。复合梁的单梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用点到梁支点的距离为c=150mm。设n=E2/E1=210/70=3，中性轴位置的偏移量为：
因此，可得到复合梁Ⅰ和复合梁Ⅱ正应力计算公式分别为
其中
根据材料力学知识分析如下：
Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅰ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：Ⅱ梁上
处计算应力值为：（4）计算实验应力值与理论应力值的相对误差
Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅰ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：Ⅱ梁上
处应力值的相对误差为：2. 上述的各点应力的实验值与应力的理论值，将两者进行比较�？梢缘贸觯菏笛橹涤肜砺壑档慕峁纸咏得鞲春狭旱恼α扑愎匠闪�。
六、实验结果
根据前面计算可以看出，实验计算的结果和理论计算的结果基本吻合。现列表如下：
表6-2 结果对比表
| 梁 | Ⅰ梁 | Ⅱ梁 | ||||||||||
| 应变片 |
|
|
|
|
 |
 |
|
|
 |
|
|
|
| 相对中性轴的坐标y/mm | -7 | -11 | -15 | -19 | -23 | -25 | -3 | 1 | 5 | 9 | 13 | 15 |
| 实验应力值/MPa | -3.1 | -4.8 | -6.5 | -8.2 | -10.0 | -10.9 | -3.5 | 1.8 | 6.7 | 11.8 | 16.9 | 19.6 |
| 理论应力值/MPa | -3.0 | -4.8 | -6.5 | -8.2 | -10.0 | -10.8 | -3.9 | 1.3 | 6.5 | 11.7 | 16.9 | 19.5 |
| 相对误差/% | 2.2 | 1.1 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.4 | 11.1 | 37.4 | 3.5 | 0.6 | 0.1 | 0.8 |
从表中可以看出，理论计算和实验结果基本吻合，相对误差不大。实验从某种方面上证实了理论知识。数据可用。
七、思考题
1． 复合梁中性层为何偏移？
答：因为两种材料的抗弯能力以及抗拉能力不同，导致在同等应力条件下，两个截面对称位置发生的应变不同。抗弯能力以及抗拉能力强的材料发生的变形小于另一种材料，因此中性层就向下偏移了。
2. 如何理解复合梁实验中出现两个中性层？
复合梁虽然中间是由物理或化学方法进行了连接，但是其实际上不是一个材料性质连续的整体。因此在两种材料的交界面上会产生应力的突变，在整个复合梁的横截面上，应力不是连续的，因此可能出现两个中性层。
七、思考题
1． 复合梁中性层为何偏移？
答：因为两种材料的抗弯能力以及抗拉能力不同，导致在同等应力条件下，两个截面对称位置发生的应变不同。抗弯能力以及抗拉能力强的材料发生的变形小于另一种材料，因此中性层就向下偏移了。
2. 如何理解复合梁实验中出现两个中性层？
复合梁虽然中间是由物理或化学方法进行了连接，但是其实际上不是一个材料性质连续的整体。因此在两种材料的交界面上会产生应力的突变，在整个复合梁的横截面上，应力不是连续的，因此可能出现两个中性层。